La vérité des jeux de hasard expliquée par les maths.

La vérité des jeux de hasard expliquée par les maths.
Nathan Uyttendaele | TEDxUCLouvain.

 

Le mathématicien Jacob Bernoulli, né en 1654, était sans doute quelqu’un d’ennuyeux et dépressif. Il laisse pourtant derrière lui une découverte majeure qui a changé à tout jamais notre vision des jeux de hasard.

Retour sur sa loi des grands nombres. Nathan Uyttendaele explique à son chat Albert comment la loi des grands nombres peut nous aider à mieux comprendre la vérité sur les jeux de hasard.

Transcription de la vidéo : Traducteur : Eric Vautier Relecteur: Elise LECAMP

C’est l’histoire d’un petit chat tout mignon,
qui propose à ses amis chats un jeu.
Voici les règles du jeu :
le petit chat tout mignon – on va l’appeler Albert –
fournit une pièce de 50 cents au joueur qui la lance en l’air.
Si le joueur fait pile, il gagne la pièce de monnaie.
Mais si le joueur fait face, le piège commence à se refermer sur lui.
Il doit alors placer une pièce d’un euro sur la table,
et s’il veut la récupérer,
et gagner les 50 cents,
il faut qu’il obtienne pile lors d’un second lancer.
Si jamais il n’y arrive pas,
il doit alors placer une pièce de deux euros sur la table.
Et s’il veut la récupérer,
et quand même gagner les 50 cents,
il faut qu’il obtienne pile lors d’un ultime lancer.
S’il n’y arrive pas, il a tout perdu.
Une seule manière de s’en sortir : faire pile sur le 3e lancer à partir d’ici.
Il faudrait être fou pour jouer à ce jeu, non ?
On risque de perdre au total trois euros
pour gagner une minable pièce de 50 cents.
Ai-je des candidats dans le [public] pour ce jeu ?
Levez la main. Qui parmi vous accepterait de jouer au jeu d’Albert ?
Non ? Personne ? Presque personne !
Bon, ce n’est pas grave,
on va essayer un autre jeu.
Je vous présente
l’une des cartes à gratter les plus populaires du pays.
Je ne veux pas qu’on m’accuse d’en faire la publicité,
j’ai volontairement flouté à l’image le nom de la carte.
Le principe de cette carte est simple :
pour la modique somme de trois euros,
vous avez une chance de gagner 2 000 euros,
par mois, à vie.
Ce n’est pas trop mal, non ?
Qui parmi vous préférerait jouer à ce jeu-ci
plutôt qu’au jeu d’Albert ?
Si on vous force à choisir entre l’un des deux jeux,
qui préférerait jouer au jeu de la carte à gratter ?
Levez la main.
Et là, on a beaucoup plus de gens,
presque tout le monde.
Votre choix, il a été guidé par quelque chose de très simple.
Dans les deux jeux,
on risque au pire de perdre la somme de trois euros,
mais dans le cas du jeu de la carte à gratter,
ce que l’on peut potentiellement gagner fait rêver,
tandis qu’Albert, avec sa petite pièce de 50 cents, il ne fait pas vraiment rêver.
Si je gagne au jeu d’Albert,
je n’ai même pas assez pour m’acheter une canette au distributeur local.
Pourtant,
si votre but est l’enrichissement personnel au travers des jeux de hasard,
c’est bien au jeu d’Albert qu’il aurait fallu jouer.
Pas tellement parce que la probabilité de perdre à son jeu n’est que de 1/8e –
c’est la probabilité de faire 3 face d’affilée –
ce n’est pas la raison pour laquelle il faut jouer au jeu d’Albert,
mais bien parce que le bilan mathématique du jeu est positif.
Les statisticiens appellent ce bilan l’espérance du jeu.
Comment ça marche ? C’est très simple.
Il suffit de prendre chaque probabilité
et de la multiplier par le gain correspondant,
positif ou négatif,
et d’additionner tous les résultats.
Ce qui nous donne +0,0625 euro.
En stats, il existe un truc très puissant,
qui s’appelle la « loi des grands nombres ».
En une phrase, ce que la loi des grands nombres nous dit est ceci :
« Si vous jouez un très grand nombre de fois à un jeu de hasard,
votre gain à chaque partie pourra être approximé par l’espérance du jeu. »
En clair, si je joue mille fois au jeu d’Albert,
je suis garanti par la loi des grands nombres
de me retrouver avec environ 1 000 fois l’espérance,
c’est-à-dire plus de 62 euros.
Et l’espérance de la carte à gratter, alors ?
Si on regarde le dos de la carte
et qu’on agrandit la partie inférieure de la carte,
on voit qu’il y a une chance sur un million
de gagner 2 000 euros par mois à vie,
mais il y a aussi 15 chances de gagner le montant fixe de 2 500 euros.
Il y a cinquante chances de gagner 250 euros,
et il y a même une chance sur dix de gagner six euros.
Avant de pouvoir calculer l’espérance de cette carte,
il faut que je transforme la deuxième colonne de ce tableau
en une colonne de probabilité.
Voici le résultat :
j’ai simplement été diviser chaque valeur par un million.
Deuxièmement, il ne faut pas oublier que cette carte n’est pas gratuite,
elle coûte trois euros.
Et donc il faut soustraire ce montant
à chacun des gains potentiels.
Ce qui va donner ceci.
Ensuite,
on ne sera pas forcément dans l’un des cas de figure situés à l’écran.
On va également, très souvent en fait,
juste perdre la somme de trois euros –
ça va arriver 75% du temps.
Dernière chose à faire :
il faut que je m’inquiète de ce que 2 000€ par mois à vie représentent vraiment.
C’est assez difficile à estimer,
mais pour un gagnant de 40 ans qui va vivre jusqu’à, disons, 80 ans,
cela représente 2 000 euros x 12 mois x 40 années,
ce qui fait 960 000 euros,
auxquels – soyons rigoureux –
il ne faut pas oublier de soustraire le prix de la carte, trois euros.
(Rires)
Nous sommes prêts à calculer l’espérance de cette carte.
On multiplie chacune des probabilités
par le gain correspondant, positif ou négatif,
et on somme tous les résultats.
Voici ce que ça donne.
-78 cents.
Conceptuellement,
cela veut dire que chaque carte à gratter
fait perdre aux joueurs 78 cents.
On peut même calculer que pour un lot d’un million de cartes,
cela correspondra une perte cumulée pour tous les joueurs de 780 000 euros.
Mais avant de déchirer avec rage la carte
en vous disant : « Ce sont tous des pourris »,
j’aimerais vous inviter à réfléchir au-delà de ces nombres.
Il faut savoir qu’en Belgique,
le profit généré par cette carte en particulier
est presque entièrement reversé
pour des projets culturels, sportifs, scientifiques,
et même humanitaires.
Ne vous demandez pas en tant que joueur
si un jeu de hasard est désavantageux pour vous.
Évidemment que les jeux de hasard le sont.
Tous les jeux de hasard le sont, ne soyez pas naïf,
mais ce n’est pas une raison pour ne pas y jouer.
Faites plutôt comme Albert :
posez-vous la question de ce qui va être fait avec votre argent.
Et si jamais la réponse ne vous satisfait pas,
alors trouvez une autre manière de vous divertir.
J’espère que ce talk vous a plu,
les illustrations sont de Laura Maugeri.
Merci.
(Applaudissements)

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